Minkowski-Diagramme

Aus der nun vorgenommenen Vereinigung von Raum und Zeit entsteht eine neue Raum-Zeit-Geometrie, die nicht euklidisch ist. Sie wird

GAUSS-LOBATSCHEWSKI-GEOMETRIE

genannt.

gausslob

Eigentlich handelt es sich um 4 dimensionale Gebilde, die man aber aus verständlichen Gründen so nicht darstellen kann. Für gewöhnlich setzt man alle 3 Raumdimensionen auf die x-Achse. Die Winkelhalbierenden werden Lichtkegel genannt. Diese Bezeichnung ist erst bei einer perspektivischen Zeichnung ersichtlich.

teilraum

Um eine ungefähre Vorstellung von den Bedeutungen der einzelnen Teilräume zu haben, soll folgendes Bild dienen:

lichtkegel

Offenbar sind nur Ereignisse (das sind Punkte in diesen Minkowski-Diagrammen), die innerhalb der Kegel liegen kausal miteinander verknüpft. Für alles andere (in der Zeichnung ,,SONST'' genannt) ist nicht zugänglich. Bewegt sich ein Teilchen im Raum, so hat es zu jedem Zeitpunkt/-ort einen Lichtkegel. Dies sei hiermit veranschaulicht:

zeitortlichtkegel

Es ist sinnvoll sich an dieser Stelle die Metrik dieser Diagramme klar zu machen. Im euklidischen Raum gilt folgendes für den Abstand:

$$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$$

Dieses ist gerade das Skalarprodukt eines Vektors in diesem Raum mit sich selbst. Man spricht davon, dass dieses Skalarprodukt ,,positiv definit'' ist. Dieses ist gegenüber Galilei-Transformationen invariant.

Analog dazu gilt in der Gauss-Lobatschewski-Geometrie ebenfalls, dass das Skalarprodukt eines Vektors dieses Raumes mit sich selbst gegenüber Lorenztransformationen invariant ist. Nur ist dieses Skalarprodukt ,,negativ definit''. Auf die tiefere Bedeutung dieser besonderen Eigenschaft, dieses anderen Vektorraumes kann an dieser Stelle nicht eingegangen werden.

$$c^2 * t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = r^2$$

Lorenztransformationen lassen diese Metrik invariant. Man kann nun fragen, was passiert wenn dieser Abstand das Vorzeichen wechselt; welche physikalische Bedeutung hat das?

Auf diese Art und Weise kann man die Trennung zweier Ereignisse miteinander vergleichen. Es gilt offensichtlich:

$$c^2 * (t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 > 0 :$$   zeitartig getrennt

$$c^2 * (t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 = 0 :$$   lichtartig getrennt

$$c^2 * (t_2 - t_1)^2 - (x_2 - x_1)^2 < 0 :$$   raumartig getrennt

Nur Ereignisse, die zeitartig voneinander getrennt sind, sind kausal miteinander verknüpft, da alle anderen Ereignisse nur mit Überlichtgeschwindigkeit zu erreichen wären.

Eichung der Achsen:

In der euklidischen Metrik konnte eine Achseneichung durch einen Einheitskreis verwirklicht werden. Die Gleichung des Abstandes war auch die Gleichung eines Kreises. In den Minkowski Diagrammen ist dieses nicht der Fall. Eine Eichung geschieht hier durch eine ,,Einheitshyperbel'', da die Gleichung des Abstandes eine Hyperbelgleichung ist.

Drehungen im Minkowski-Diagramm:

Im euklidischen Raum konnte durch eine simple Drehmatrix mit den trigonometrischen Funktionen eine Drehung vollzogen werden. Dies ist so, weil die Determinante der Drehmatrix invariant war und auf folgende Tatsache hinaus lief:

$$cos^2 (x) + sin^2 (x) = 1$$

Eine Drehung im Minkowski-Diagramm ist anders und funktioniert mit einer Drehmatrix, die die hyperbolischen Trigonometrie-Funktionen als Eintrag besitzt. Das Argument dieser Funktionen wird mit dem griech. Symbol $\xi$ bezeichnet. Der Tangenshyperbolicus ist hierbei genau das Verhältnis der Geschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit und daher wird das soeben benannte Argument auch RAPIDITÄT genannt und vereinfacht damit die Geschwindigkeitsangabe. Die Drehmatrix lautet:

$$ct^{\; '} = \cosh \xi - \sinh \xi x$$

$$x^{\; '} = -\sinh \xi ct + \cosh \xi x$$

Eigenzeit

Wir betrachten nun eine infinitesimale Änderung von x und t. Im momentanen Ruhesystem des bewegten Objektes gilt, dass die Änderung des Ortes Null ist. Es gilt also:

$$c^2 dt^2 - dx^2 = c^2 dt^{\; '2} - dx^{\; '2} = c^2 d\tau^2 \Leftrightarrow d\tau^2 =dt^2 - \frac{1}{c^2} dx^2$$

Die letzte Koordinate können wir mit 1 erweitern und erhalten so eine neue Beziehung für die Geschwindigkeit:

$$dx = \frac{dx}{dt}dt = vdt \Rightarrow d\tau^2 = dt^2 - \frac{1}{c^2} v^2(t) dt^2$$

Durch Wurzelziehen erhalten wir die Lorenz invariante Eigenzeit. Diese ist offenbar kleiner, als die Zeit im Beobachter System:

$$d\tau = dt \sqrt{1-\frac{v^2(t)}{c^2}} < dt$$

Damit haben wir die Begründung der Zeitdilatation. Offenbar geht in bewegten Systemen die Zeit langsamer als in ruhenden Systemen. Dies ist eine Tatsache, die ziemlich gut durch Experimente an Teilchenbeschleunigern untermauert ist.